Leçon de géométrie

Il y a d'anglophones, j'ai peur, qui imaginent que je prends la racine carrée de deux pour un nombre rationnel, et non irrationnel.

Vous voyez, je ne crois pas qu'il y ait des nombres irrationnels. Donc, ils pourraient imaginer, si je ne crois pas que la racine carrée de deux soit un nombre irrationnel, que je pense qu'elle soit un nombre rationnel.

Pas tout à fait, non.

Chez Boèce, dans son arithmétique, on trouve une liste de racines carrées (RC) et de leurs nombres carrés (NC).

RC	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
NC	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Puisque 2 ne se trouve pas parmi les nombres carrés, 2 ne peut pas avoir une racine carrée, dans l'arithmétique. Donc, si "racine carrée de 2" il y a, elle doit se trouver ailleurs qu'en arithmétique. Mais si elle se trouve en géométrie, elle n'est pas un nombre.

Je ne sais pas si on le trouve dans la géométrie de Boèce (ou s'il a même écrit sur la géométrie!), mais voici une méthode pour prouver que la racine carrée de 2 existe en géométrie.

Prenez un carré parfait. Divisez chaque côté en deux lignes égaux, séparées par un point. Il y aura donc la possibilité d'assigner à la longueur moindre l'unité de mesure, 1, et à la longueur plus longue la proportion double, 2:1 par rapport à cette mesure.

Or, si chaque ligne a un rapport 2:1, les carrés ont des rapports 4:1. Mettez maintenant des diagonaux entre les milieux des lignes du début, et vous aurez encore un carré, dont les côtés sont ces diagonaux. Ce nouveau carré est au rapport de 1:2 avec le carré 4:1, ce qui le rend 2:1. Et elle a le rapport 4:1 à chaque triangle qui a un rapport 1:2 aux carrés 1. Ce qui aussi le rend 2:1.

Donc, ce carré est réellement 2:1. Son côté, alors? Il est plus grand que 1, puisque 1 est le côté du carré 1. Il est moindre que 2:1, puisque 2:1 est le côté du carré 4:1. Mais entre 1 et 2 il n'y a pas de nombre. Donc, soit sa proportion à 1 doit être une proportion complexe, soit elle doit être irrationnelle. Et de fait, c'est une proportion irrationnelle.

La racine carrée de 2 est donc irrationnelle, et elle est une proportion géométrique, non pas un nombre.

Or, je m'occupe assez souvent de cette proportion, car un A4, n'étant pas un carré, mais un rectangle, a deux côtés courts, 1, et deux côtés longs, précisément la racine carrée de 2 par rapport à cette 1. Chaque rectangle en papier peut être plié en quatre rectangles plus petits de la même forme dans le même sens. Mais dans la série A, en plus entre les deux, le premier pli, donne deux rectangles, de même forme et dans le sens à 90° par rapport au sens originel.

Ceci m'est d'une importance pratique non négligeable.

Certains photocopieuses ont une fenêtre en A3 et aussi la possibilité de sortir un A4 dans le même sens que l'A3, alors parfois appelé "A4 R". Elles ont donc souvent aussi la possibilité de faire un zoom, A3 -> A4. Ou 70 / 71 %.

Imaginez que vous mettez un A4 au milieu de la fenêtre A3. Vous le zoomez en 71 %, et ça vous sort un papier A4 avec au milieu votre motif en A5. Vous pouvez aussi directement prendre le nombre de copies à 2. Ces deux feuilles d'A4 avec votre motif au milieu et avec un marge, vous les mettez sur la fenêtre A3, elles doivent remplir cette fenêtre bien, et réduisez en A4 en deux exemplaires (vous êtes à quatre photocopies). Ces deux feuilles fois 2 A5, vous les mettez sur la fenêtre A3, et pour les copies 5, 6, vous avez chaque A4 divisé en 4 A6. Pour 7, 8, il l'est en 8 A7, pour 9, 10 en 16 A8 et pour 11 et 12 en 32 A9. Douze feuilles de copies face unique et noir et blanc me coûtait les 1 € 20 que j'avais à dépenser. Alors, comptons les feuilles, l'original et 12 photocopies - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13. Je n'ai pas vu de racine carrée de 2. Comptons encore une fois les exemplaires qu'il y a du motif, l'original, 2 * 1, 2 * 2, 2 * 4, 2 * 8, 2 * 16, 2 * 32, ça fait 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127. Pas de racine carrée de 2 dans ce nombre non plus.

Par contre, la forme de chaque exemplaire comme de chaque feuille a deux côtés à 1 et deux côtés à la racine carrée de 2. L'original a une forme qui contient cette proportion, les deux copies suivantes l'ont, et le dernier 32^ème du dernier A4, celui-ci aussi a deux côtés d'1 et deux côtés de la racine carrée de 2.

Accessoirement, 127 copies d'un motif, quoique pas tous dans la même taille, pour 1 € 20, c'est pas trop cher, non? C'est assez bon marché, non? Je le trouve aussi.

Si vous mettez un maxime de cœur ou une brève expressions de vœux de fêtes ou un ou deux des URL des sites que vous aimez (peut-être même mes blogs), ce n'est pas trop difficile de distribuer non plus. Faut juste découper un peu avant. Ou si vous envoyez à un autre pour qu'il le fasse, il peut lire votre requête sur l'une page d'un A4 et ensuite découper selon les 32 divisions de l'autre.

Entretemps, les gens du Moyen âge n'étaient pas ignares parce qu'il ne croyaient pas en des nombres irrationnels - les nombres des feuilles ou des exemplaires du motif reste à chaque étape strictement rationnel, non? Et donc, je n'ai pas tort en croyant que les irrationnels ne sont pas des nombres.

Hans Georg Lundahl
Paris
St. Guillaume de Bourges
10.I.2020

Bituricis, in Aquitania, sancti Willhelmi, Episcopi et Confessoris, signis et virtutibus clari; quem Honorius Papa Tertius in Sanctorum canonem adscripsit.

Et je ne savais pas que la provincia Aquitania des Romains allait autant jusque dans le nord et dans l'est que Cher, où on trouve Bourges .... je ne sais pas si des Français de nos jours auraient formulé la chose comme "Bourges en Aquitaine" ... NDA.

PS, si vous lisez l'anglais, il y a également une leçon d'arithmétique:

New blog on the kid : Arithmetic : on Prime Testing of Large Numbers
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